Ensinando produtos notáveis para alunos com comprometimentos visuais

Daniel de Mello

UNIRIO

Aline Bernardes

UNIRIO

Edney Dantas

Instituto Benjamin Constant

Introdução e contexto

Relatamos neste texto uma proposta para o ensino de produtos notáveis contemplando a adaptação de um quebra-cabeça geométrico para aprendizes cegos. A proposta foi desenvolvida no âmbito do estágio supervisionado da Licenciatura em Matemática da Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro (UNIRIO), que tem uma parte da carga horária voltada para Educação Inclusiva. Dentre as escolas parceiras nesta etapa do estágio da UNIRIO temos o Instituto Benjamin Constant (IBC), onde foi implementada a proposta aqui apresentada.

O ensino de produtos notáveis se insere no estudo de polinômios como técnicas a serem aplicadas na fatoração dos polinômios, geralmente estudados nos últimos anos do Ensino Fundamental. Tal parte da Álgebra é comumente marcada por um caráter mecânico ou técnico, isto é, marcada pela ênfase no ensino de procedimentos e algoritmos que se resumem a “fazer contas com letras”.

Ribeiro (2015) apresenta uma síntese de diferentes concepções acerca da Álgebra e da educação algébrica praticadas no ensino. Dentre elas, a visão da Álgebra restrita ao “cálculo com letras” é apontada como a mais presente nos livros didáticos e a mais comum na prática escolar. Isso leva-nos a questionar que sentido os estudantes atribuem à aprendizagem de um arsenal de transformismos algébricos.

Para além de uma aprendizagem sem sentido, há outras dificuldades na educação algébrica que podem ser associadas à ruptura epistemológica inerente à transição da Aritmética para a Álgebra. Os alunos, habituados a lidar com problemas envolvendo números e operações de forma mais imediata, passam a incorporar a manipulação de símbolos literais em meio aos numéricos, utilizando regras próprias da Álgebra. Tais regras requerem procedimentos mais complexos do que aqueles utilizados na Aritmética.

A interpretação e a modelagem dos problemas exigem raciocínios mais elaborados, englobando a análise de quantidades conhecidas e desconhecidas. Somam-se a essas dificuldades as diferentes interpretações que as letras podem ter: incógnita, variável, parâmetro.

Outra fonte de dificuldades está nas possíveis interpretações do sinal de igual, pouco exploradas no ensino, de acordo com Trivilin e Ribeiro (2015). Uma delas é a ideia de equivalência, importante para o estudo de equações. Tinoco (2008) aponta que estudantes com experiência em Aritmética interpretam o sinal de igual como um símbolo unidirecional, isto é, como um símbolo que precede uma resposta numérica.

No caso de alunos com deficiência visual, o desafio epistemológico proporcionado pela Álgebra pode ser ainda intensificado por obstáculos cognitivos de outras naturezas. Segundo Vygotsky (1997), o comprometimento visual representa uma carência em um dos canais sensoriais de aquisição de informação. Caso essa carência não seja preenchida adequadamente por outro canal, o processo de internalização pode ser comprometido.

Ele sugere que o olho é um instrumento substituível por outro órgão receptivo, como o tato. Mas essa substituição não é simples e só é efetiva se conectados os sistemas e códigos de comunicação apropriados. Dessa forma, os materiais concretos aparecem como um recurso comunicativo capaz de estimular o processamento de informações pelo tato.

Autores como Ferreira (2006), Ferronato (2002) e Fernandes e Healy (2010) defendem a intensificação do uso de materiais concretos para buscar essa substituição de estímulos sensoriais e representar um ponto de apoio para a abstração matemática.

Para o deficiente visual, a utilização de materiais concretos se torna imprescindível, haja vista que tem no concreto, no palpável, seu ponto de apoio para as abstrações. Ele tem no tato seu sentido mais precioso, pois é pela exploração tátil que lhe chega a maior parte das informações. É por ela que ele tem a possibilidade de discernir objetos e formar ideias (Ferronato, 2002, p. 41).

Nesse contexto, foi elaborada uma sequência didática para o ensino de produtos notáveis tendo como base um material concreto, buscando estímulos sensoriais mais adequados para aprendizes que apresentam comprometimentos visuais. Além disso, buscamos promover na articulação com a Geometria uma aprendizagem de produtos notáveis com mais sentido para os alunos. A proposta foi aplicada com uma turma do 8^o ano do Ensino Fundamental do IBC. Nas próximas seções, descrevemos em mais detalhes a proposta e a experiência com a referida turma.

Uma forte motivação para a elaboração de um material didático para nossa proposta é a escassez de materiais concretos voltados a alunos cegos para o ensino de Álgebra. Além disso, o registro de expressões algébricas, equações, polinômios etc. em braile não é simples (por exemplo, na Tabela 1). A manipulação de um material concreto, além de estimular o sentido tátil, possibilita outro ambiente para registro e representação das ideias matemáticas.

Tabela 1: Representação em braile de uma expressão algébrica.

Proposta para o ensino de produtos notáveis

A elaboração das atividades foi baseada no modelo didático proposto por Borgato (2013) para o ensino de produtos notáveis e fatoração de polinômios, utilizando representações geométricas de retângulos e equivalência de áreas. Foram selecionados dois casos de produtos notáveis a serem trabalhados: o quadrado da soma entre dois termos e o quadrado da diferença entre dois termos.

Em seguida, buscamos desenvolver um material didático que funcionasse como um quebra-cabeça geométrico, visando estimular o sentido do tato. Desse modo, a divisão das atividades foi feita na seguinte ordem:

1. Introdução do quadrado da soma entre dois termos pela equivalência de áreas entre retângulos (50 minutos).
2. Introdução do quadrado da diferença entre dois termos por meio da equivalência de áreas entre retângulos (50 minutos).

O material didático

O conjunto didático é composto por:

1. uma placa magnética (Figura 1-a);
2. peças-ímãs de EVA, representando quadrados e retângulos (Figura 1-b);
3. peças-ímãs de texto, representando as expressões algébricas das áreas dos quadrados e retângulos (Figura 1-c).

Todas as peças-ímãs de texto possuem uma matriz em braile e tinta, forradas com Con-Tact, simulando o Thermoform, uma máquina que utiliza o calor para tornar películas plásticas flexíveis a ponto de reproduzir as formas e texturas de um molde (matriz). A proposta foi pensada para alunos com baixa visão e para alunos cegos. A elaboração do kit foi feita com base em materiais reutilizados ou de baixo custo e fácil acesso.

Figuras 1-a a 1-c: Materiais que compõem o conjunto didático.

Na parte superior direita da placa estão desenhados traçados em relevo, com diferentes formas, cores e texturas, formando o contorno de um quadrado. As mesmas formas, cores e texturas estão reproduzidas nas peças-ímãs de EVA, relacionando os padrões das peças com suas posições na placa.

Ao longo do processo de confecção dos materiais, foram realizados testes isolados no Instituto Benjamin Constant. Neles foram consideradas as opiniões e sugestões dos alunos com o objetivo de ampliar a aceitação do material e potencializar os estímulos que ele proporciona. A alteração mais funcional foi a implementação de uma cela braile toda preenchida antes do texto de cada peça-ímã.

Durante os testes, os alunos cegos manifestaram dificuldades para se orientar nas leituras, devido à influência que a rotatividade das peças teve na ordem em que as celas eram lidas. Uma vez estabelecida a alteração, definiu-se um referencial para a identificação do início dos textos.

Implementação da proposta

A atividade foi aplicada em uma das turmas de 8º ano do IBC durante uma aula com dois tempos de 50 minutos. A turma era composta por três alunos com baixa visão e quatro alunos cegos.

A turma foi dividida em três duplas compostas por um aluno cego e um aluno com baixa visão, objetivando um diálogo entre as diferentes percepções. Um dos alunos cegos realizou as atividades individualmente e foi acompanhado com mais atenção.

Para cada dupla foi distribuída uma placa magnética e um kit de quatro sacos com peças-ímãs. Todas as instruções foram dadas oralmente. No início de cada atividade, os alunos foram incentivados a manusear as peças para reconhecer os retângulos e suas medidas: um quadrado com lado x , outro com lado y  e um retângulo com lados x e y . Usando o magnetismo dos ímãs, eles sobrepuseram as peças para identificar quais possuíam lados congruentes.

A primeira atividade foi direcionada para introduzir a identidade algébrica correspondente ao quadrado da soma entre dois termos. Para isso, foi entregue um novo quadrado e foi pedido que achassem suas medidas utilizando as outras peças. Para auxiliar o processo, foi sugerido que eles colassem o novo quadrado em um espaço delimitado por traçados em relevo na placa. Eles concordaram que o quadrado preencheu completamente esse espaço (Figura 2-a). Ao realizar a colagem, eles sentiram as texturas dos traçados na placa, delimitando o quadrado colado. Nesse momento, uma aluna cega relacionou essas texturas com as texturas das outras peças, encaminhando a turma para a etapa seguinte.

Foi pedido que eles retirassem o quadrado e colassem no lugar todos os retângulos, seguindo o padrão das texturas das peças e dos traçados (Figura 2-b). Feito isso, concluíram que todas as peças antigas coladas juntas preencheram completamente esse espaço da placa. As conclusões foram as seguintes:

1. A medida do lado do quadrado novo é a soma das medidas dos lados dos outros dois quadrados: x + y .
2. A área do quadrado novo é igual à medida de seu lado elevado ao quadrado: (x + y)²
3. A área do quadrado novo é também igual à soma das outras áreas: x² + xy + xy + y² .

Foi solicitado então que colassem as peças-ímãs de texto na placa a fim de representar algebricamente o produto notável correspondente à área do quadrado novo (Figura 2-c).

Depois, eles utilizaram a conclusão c) para colar os outros retângulos representando a soma das áreas, junto com suas respectivas expressões algébricas. Assim, eles visualizaram na placa as figuras geométricas correspondentes à forma fatorada e à forma expandida do quadrado da soma de dois números, assim como as respectivas expressões algébricas das áreas de cada peça (Figura 2-d).

Figuras 2-a a 2-d: Etapas da primeira atividade para estabelecer a identidade algébrica correspondente ao quadrado da soma entre dois termos.

A segunda atividade foi direcionada para introduzir a identidade algébrica correspondente ao quadrado da diferença entre dois termos; o processo foi semelhante ao anterior. Foi entregue um novo quadrado (diferente do quadrado da atividade anterior) com duas marcações destacáveis no contorno de um quadrado menor desenhado em seu interior (Figura 3-a). A área desse quadrado menor é (x - y)² . Os alunos perceberam que a medida do lado desse quadrado era menor que x. Assim, era necessário descobrir o valor que deveria ser subtraído de x a fim de obter a medida desse lado. Utilizando os outros retângulos, eles descobriram que a medida do lado do quadrado menor desenhado na peça nova era x - y .

A estratégia elaborada para representar geometricamente a subtração foi nomeada “espelho magnético”. A peça nova é submetida a uma série de transformações e cada uma dessas transformações é reproduzida também na placa da seguinte forma:

1. Ao destacar tiras retangulares da peça nova, o aluno estará representando a subtração. Cada tira destacada será congruente a um retângulo que eles possuem. Assim que uma tira retangular for destacada da peça, o aluno colará na placa o retângulo congruente a essa tira, acompanhado do sinal "-".

2. Ao adicionar quadrados à peça nova, o aluno estará representando a adição. O quadrado adicionado à peça será congruente a outro quadrado que eles possuem. Assim que o quadrado for adicionado à peça, o aluno colará na placa o outro quadrado congruente a esse, acompanhado do sinal "+".

A peça nova inteira era congruente ao quadrado de área x² (Figura 3-b), então eles colaram esse quadrado na placa (Figura 3-c). Em seguida, foi pedido que destacassem a tira superior da peça nova, de acordo com a marcação (Figura 3-d). Essa tira era congruente ao retângulo de área xy (Figura 3-e) e, portanto, deveriam colá-lo na placa junto com o sinal "-" (Figura 3-f). Antes de destacar a segunda tira, foi pedido que sobrepusessem nela a tira já arrancada, observando que a tira ainda não arrancada era menor.

Depois, foi notado que, adicionando o quadrado de área y² , as tiras ficavam com o mesmo tamanho (Figura 3-g). Assim, um quadrado foi colado em cima da tira e outro na placa, junto com o sinal "+". Então os alunos poderiam destacar a última tira, que agora também era congruente ao retângulo de área xy . O retângulo e o sinal "-" foram colados na placa. Para finalizar a construção geométrica do trinômio quadrado perfeito, foi pedido que eles adicionassem todas as expressões algébricas correspondentes às respectivas áreas de cada retângulo colado na placa (Figura 3-h).

Figuras 3-a a 3-j: Etapas da segunda atividade para estabelecer a identidade algébrica correspondente ao quadrado da diferença entre dois termos.

Ao final de cada atividade, após os alunos expressarem algebricamente a relação entre as peças do quebra-cabeça a partir da equivalência entre as áreas, foi discutido com eles como obter a forma expandida do produto notável via regras da Álgebra e que as igualdades estabelecidas são válidas quaisquer que sejam os termos x e y .

Análise e discussão

A fixação das peças-ímãs em lugares específicos na placa favoreceu a orientação dos alunos cegos e os de baixa visão. Quando as peças foram magnetizadas na placa, evitou-se o risco de elas saírem de suas posições e se perderem. Além disso, os alunos cegos relacionaram imediatamente o padrão das texturas das peças que representam as figuras geométricas. Eles fixaram-nas organizadamente no local com a textura compatível dentro da região quadrangular da placa. O mesmo ocorreu com os alunos com baixa visão, que também se orientaram pelo padrão das cores. Essas observações indicam que o material elaborado foi amplamente aceito tanto pelo grupo de alunos com cegueira total como por aqueles com baixa visão.

Os alunos não mostraram dificuldades em identificar lados congruentes e em distinguir quadrados e retângulos. A possibilidade de sobrepor as peças em busca de lados congruentes foi uma estratégia que facilitou esse processo. No entanto, foi preciso relembrar a fórmula para o cálculo da área de retângulos – o que foi útil para reforçar conceitos geométricos importantes.

Na segunda atividade, durante a representação da soma das áreas na placa, foi pedido que os alunos juntassem os retângulos congruentes de área xy , formando um único retângulo de lados x e 2y e área 2xy . Eles tiveram dificuldade para identificar a área desse retângulo. No entanto, após a compreensão, o passo feito foi relacionado à propriedade da soma de termos com mesma parte literal: xy + xy = 2xy . A existência desse retângulo de área 2xy evidencia que (x + y)² ≠ x² + y² , um erro que os alunos costumam cometer.

Na segunda atividade, ao destacar ou adicionar parte a peça nova, o aluno está representando as operações de soma e subtração. Portanto, a ordem dos passos foi fundamental para produzir uma interpretação mais simples. A primeira tira arrancada tem área xy e a outra tira y (x - y) , gerando um cálculo que poderia complicar o processo de estabelecer a igualdade do quadrado da diferença entre dois termos. Ao adicionar o quadrado de área y² , as tiras tornam-se congruentes e com uma área conhecida. Assim, evitou-se uma etapa sem muito a acrescentar: y (x - y) + y² = xy. .

Ao término da aula foi realizada uma breve entrevista com os alunos que participaram das atividades. Foram questionados sobre as contribuições que o material proporcionou. A aceitação foi unânime e todos responderam que haviam gostado da aula e do material.

Considerações finais

Quando os alunos relacionaram as áreas dos retângulos com expressões polinomiais e estabeleceram as igualdades dos produtos notáveis trabalhados a partir das equivalências de áreas, eles associaram um significado geométrico aos produtos notáveis. Em consonância com as ideias de Ferronato (2002), o material concreto proporcionou um modelo que pode servir como ponto de apoio para a abstração matemática; no caso, para aplicar as identidades referentes aos produtos notáveis, expandindo-os ou fatorando-os.

Diante da escassez de materiais didáticos para o ensino de Álgebra voltado para aprendizes cegos e dada a dificuldade de registrar em braile manipulações algébricas, acreditamos que o material produzido pode contribuir para promover a inclusão de alunos cegos em turmas regulares.

Uma expectativa de continuação do trabalho é aplicar novamente a proposta em outra turma e analisar isoladamente as reações dos alunos cegos ao material adaptado. Na experiência realizada, os alunos cegos foram agrupados com alunos com baixa visão, de modo que não foi possível avaliar em que medida o material serviria como apoio para esse grupo mais específico realizar as atividades e estabelecer as igualdades dos produtos notáveis. Além disso, não foi possível avaliar o impacto do material e da experiência como um todo nas aulas seguintes à relatada.

Outro ponto que o ensino tradicional de Álgebra deixa a desejar é quanto ao duplo sentido do sinal de igual, o qual não costuma ser evidenciado (Trivilin; Ribeiro, 2015). O contexto geométrico no qual a proposta se baseia favorece explorar os dois sentidos das igualdades dos produtos notáveis, o que pode ser mais enfatizado em oportunidades de continuação do trabalho.

As manipulações e as construções proporcionam interpretações para conceitos e propriedades algébricas às quais eles poderão estabelecer diversas referências posteriormente. Essa construção de referências é fundamental para o fortalecimento da aprendizagem matemática, sobretudo para alunos com comprometimentos visuais, que estão sujeitos à escassez de modelos de ensino adaptados.

Referências

BORGATO, K. C. O ensino de produtos notáveis e a fatoração de polinômios: uma articulação entre a Álgebra e Geometria. 150f. Dissertação de Mestrado. Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2013.

FERNANDES, S. H. A. A.; HEALY, L. Educação Matemática e inclusão: abrindo janelas teóricas para a aprendizagem de alunos cegos. Educação e Cultura Contemporânea, v. 5, p. 91-105, 2008.

FERREIRA, W. B. Educar na diversidade: práticas educacionais inclusivas na sala de aula regular.
In: Ensaios Pedagógicos - Educação inclusiva: direito à diversidade. Brasília: SEESP/MEC, 2006.

FERRONATO, R. A construção de um instrumento de inclusão no ensino da matemática. 124f. Dissertação de Mestrado em Engenharia de Produção. Universidade Federal de Santa Catarina. Florianópolis, 2002.

RIBEIRO, A. J. A Álgebra que se aprende e a Álgebra que se ensina: encontros e desencontros na visão dos professores.
XIV CIAEM, Tuxtla Gutiérrez, Chiapas, México, jan. 2016.

TINOCO, L. A. A. et al. (Orgs.). Álgebra: pensar, calcular, comunicar. Rio de Janeiro: Projeto Fundão/UFRJ, 2008.

TRIVILIN, L. R.; RIBEIRO, A. J. Conhecimento matemático para o ensino de diferentes significados do sinal de igualdade: um estudo desenvolvido com professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental. 59f.
Dissertação de Mestrado. Universidade Estadual Paulista. Rio Claro, 2015.

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