Um estudo de caso sobre o ensino-aprendizagem dos diferentes significados de frações em uma escola de Educação Básica

Fabio Menezes

>Doutorando em Ensino e História da Matemática e da Física (Pemat-UFRJ), mestre em Ensino da Matemática (Pemat-UFRJ), professor do Ensino Básico na SME-Duque de Caxias/RJ e Seeduc-RJ e mentor de professores da revista Nova Escola para a confecção de planos de aula

Lucas Moraes

Mestrando (Profmat), professor do Ensino Fundamental e Médio, consultor da Editora Ática

Mesmo em momentos de desenvolvimento profissional e experiências bem distintas dos autores – o primeiro com 20 anos e o segundo com seis anos de docência –, há certo consenso de que os significados de fração ainda são pouco compreendidos por muitos alunos, por alguns professores e pelas pessoas em geral, apesar de ser bastante comum expressar e ver expressas algumas grandezas ou medidas na forma fracionária, por exemplo, quando ouvimos ou falamos “meio copo de leite” ou “¾ de polegada de um cano”. Mas o que a experiência mostra é que o conceito de fração fica muitas vezes restrito à linguagem oral.

A preocupação com o ensino-aprendizagem de frações e, consequentemente, dos números racionais não é novidade. Há diversos autores brasileiros e estrangeiros que já comunicaram suas pesquisas nesse campo de estudo, como Vasconcelos e Belfort (2006) e Magina (2001), que propõem o ensino-aprendizagem de frações pela exploração de cinco significados, e outros, como Cavalcanti e Guimarães (2007), que identificam a possibilidade de explorar sete significados. É verdade que nem sempre os significados apresentados nessas pesquisas têm interseção total, porém a maioria dos significados relatados são os mesmos.

Um aspecto que consideramos importante é o fato de que a categorização dos significados não deve ser tomada a priori como enclausurador dos significados, mas sim como um norteador de reflexões sobre “o quê?”, “por quê?” e, principalmente, “como?” ensinar frações de maneira significativa. Sendo assim, ressiginificamoso conceito de frações, situando-o em cada contexto e problema.

Neste trabalho consideramos importante a exploração também de cinco significados, baseados nos significados apresentados pelas pesquisas consultadas, que assim descreveremos e justificaremos nossas escolhas:

  • Relação parte-todo: Entendemos ser um significado que necessita de um procedimento de dupla contagem. Com base em uma grandeza tomada como unidade, devemos contar as partes totais e as partes tomadas para resolver um problema e representá-las como denominador e numerador, respectivamente. Esse é, segundo nossa experiência profissional, o significado mais abordado por professores quando se inicia o ensino de frações, talvez porque também tenha sido esse o mais abordado ou o mais bem abordado na nossa época de alunos, principalmente, em livros didáticos dos anos iniciais do Ensino Fundamental.
  • Operador multiplicativo: Este significado de fração indica que, ao ser aplicado a uma grandeza, ela (a fração) passa a ser um valor escalar – que determina o tamanho final da grandeza –, ou seja, um operador multiplicativo da grandeza indicada, de natureza discreta ou contínua. Percebemos a abordagem desse significado, inicialmente, em subconjuntos discretos já nos anos iniciais, mas de maneira muito tímida e bem menor, se comparada ao significado parte-todo.
  • Quociente/número: Esse significado consiste em enxergar o símbolo de fração como a operação de dividir, resultando em um número, abstraindo a natureza da grandeza à qual a fração possa estar relacionada. Essa ideia possibilita a representação das frações também distribuídas em uma reta numérica; foi vista nos livros dos alunos inicialmente relacionando com números decimais, bastante presente a partir do 6º e 7º anos, principalmente neste último quando serve à resolução de equações do 1º grau.
  • Razão ou taxa de variação: É o significado que usa a representação de frações para comparar ou relacionar duas grandezas que não necessariamente são a parte e o todo de uma unidade. Consideramos um significado importante das frações, mas que percebemos ser pouco explorado, levando em consideração os outros significados, inclusive presente nos livros didáticos explorados durante este trabalho. Acreditamos que o significado de taxa, se explorado desde cedo, poderia trazer benefícios para a compreensão dos conceitos iniciais de porcentagem ou do cálculo, por exemplo.
  • Probabilidade: É um significado que representa a chance de um evento acontecer. Relaciona a cardinalidade de um subconjunto com seu conjunto principal; os números são representantes da mesma grandeza. Escolhemos como importante por poder ser interpretado por meio de um resultado de divisão ou como a relação entre o numerador e denominador de forma comparativa, ajudando à reflexão sobre ordem de grandezas numéricas, por exemplo. E pode servir como ideia inicial sobre o conceito de porcentagem na estatística, por exemplo.

O que foi apresentado até aqui tem o objetivo de ajudar nas reflexões sobre o ensino de frações, corroborando o que Shulman (1986) destaca como “conhecimento pedagógico de conteúdo” (PCK). A tentativa de colaborar com estudos de como tornar esse conhecimento compreensível a outros, não reduzindo os saberes profissionais docentes ao conhecimento do conteúdo per se. No caso específico das frações, a grande quantidade de trabalhos de conclusão de curso de graduação e pós-graduação desse campo deixa pistas de uma inquietação que permeia a formação inicial e continuada de professores que ensinam Matemática. Ball (1988) traz suposições que podem ajudar interpretar tais inquietações. Segundo essa pesquisadora, na formação inicial dos professores de Matemática os conteúdos da Matemática escolar, como frações (aqueles que são vistos na posição de alunos), são vistos como simples e comumente entendidos; assim, não “precisam” ser reaprendidos no curso universitário, e as disciplinas de Matemática universitária são consideradas saberes suficientes para futuros professores.

Nesse sentido, a primeira parte deste artigo, para além das reflexões sobre o conceito de frações com vistas ao ensino, trouxe o olhar de um posicionamento político-pedagógico sobre a formação e o desenvolvimento profissional de professores que ensinam Matemática. A seguir apresentaremos a pesquisa em si, trazendo os objetivos, as análises feitas e nossas considerações acerca dela.

Imagens do estudo de caso

Para efeito de análise de pesquisa, foram considerados cinco alunos: dois do 7º, dois do 8º e um do 9º ano do Ensino Fundamental de uma escola municipal de Duque de Caxias. Entre junho e agosto de 2017, todos fizeram as mesmas tarefas, ou seja, responderam às mesmas tarefas no papel, considerando a importância que demos aos cinco significados envolvendo frações, segundo nossas interpretações sobre os referenciais teóricos escolhidos, e responderam às mesmas perguntas semiestruturadas sobre essas tarefas verbalmente. Buscamos, assim, perceber quais desses significados que interpretamos e julgamos importantes estão mais presentes ou possuem domínio por parte dos alunos que foram objetos da pesquisa.

Neste estudo buscamos relacionar a construção do conceito de frações com as ideias de Tall e Vinner (1981), que, resumidamente, definem imagem conceitual como todas as imagens mentais que servem para descrever a estrutura cognitiva total que está associada com o conceito, incluindo as propriedades associadas e os processos que levam à definição do conceito. Isto é, entendemos que o entendimento do conceito de frações depende das imagens conceituais como sendo seus diversos significados e é construído ao longo dos anos por experiências de todos os tipos, mudando à medida que o indivíduo encontra novos estímulos e amadurece. Contudo, entendemos que essa teoria deve ser situada socialmente no tempo e no espaço das experiências.

Assumimos como base de nossas tarefas, adaptando-as, as perguntas feitas pelo trabalho de Cavalcanti e Guimarães (2007); sobre o significado parte-todo, a tarefa continha a pergunta: “Uma jarra de suco foi distribuída em cinco copos igualmente cheios. João bebeu um deles, Joana bebeu outro e José bebeu outro. Que fração foi bebida e que fração sobrou desse suco na jarra?”. Três respostas foram consideradas corretas, tanto na forma verbal quanto na escrita, com a colocação correta do numerador e do denominador: 3/5 foram bebidos e 2/5 sobraram. Mas em duas respostas – de um aluno do 7º ano e outro do 8º ano –, apesar de uma imagem conceitual (significado) bem respondida verbalmente sobre a relação parte-todo, houve confusão na representação, com a inversão entre o numerador e denominador.

Poderíamos escolher fazer com conjuntos discretos essa mesma tarefa, por exemplo, 900 bolinhas.

Sobre o significado de fração como operador multiplicativo, na tarefa foi feita a seguinte pergunta: “Uma jarra continha 900 mL de suco. Pedro bebeu 2/3 dessa quantidade. Que quantidade ele bebeu?”. Um aluno do 7º ano não soube responder, porém, todos os outros responderam com correção 600 mL. Contudo, aquele que não sabia responder também verbalmente disse não saber como pensar sobre o problema, mas os outros responderam de duas formas: (1) que como fração é um pedaço, era só dividir por três e pegar duas dessas partes; ou (2) que era só multiplicar por 2/3, realizando primeiro a multiplicação por 2 e depois a divisão por 3. Aparentemente, essa imagem conceitual está bem consolidada – ainda que voltem a pensar no significado parte-todo –, ou a operação relacionada a ela .

Entendemos que o significado de fração como quociente/número estaria diretamente vinculado a relacionar sua posição na reta numérica; então foi pedido na tarefa que localizassem o número 2/3 numa reta numérica dada. Todos os alunos que participaram da pesquisa responderam à tarefa incorretamente. Os dois do 7º ano e o os dois do 8º ano o localizaram entre o número 2 e o número 3. O aluno do 9º ano deixou a tarefa em branco. Verbalmente, ao serem perguntados sobre a possibilidade de uma fração ter valor numérico, apenas um aluno do 8º ano disse que sabia, mas não lembrava como fazer. Já os outros quatro – dois do 7º ano, um do 8º e outro do 9º ano – responderam que não sabiam que fração poderia ser vista como um número. Esse resultado nos surpreendeu e deu pistas claras de que essa imagem conceitual se mostra deficiente no ensino-aprendizagem sobre frações.

Mas, como juntamos nosso entendimento dos significados de fração como quociente com o de número, propusemos na tarefa a seguinte pergunta: “Jonas quer encher uma grande jarra com 15 L de suco. Mas ele só pode fazê-lo usando um copo em que cabe 1/3 de litro. Quantos copos serão necessários?”. Apenas o aluno do 9º ano respondeu à tarefa com correção: 45 copos, mas sem mostrar os cálculos. Contudo, verbalizou com bastante desenvoltura o seu pensamento, em que disse ter separado cada litro em três partes iguais e multiplicado por 15. Um aluno do 7º ano, apesar de a pergunta se referir ao número de copos como pergunta, deu a resposta 3/5 para o que seria uma quantidade. A curiosidade é que, verbalmente, a resposta foi até bem coerente: ele disse que “a cada três copos faria um litro e multiplicando três litros por cinco ele chegaria a 15 L”. Ou seja, entendemos que houve confusão entre o conceito e a representação, prejudicando, consequentemente, a reposta escrita mais coerente.

Os dois alunos do 8º ano resolveram apenas estimar a quantidade e revelaram também deficiência sobre o conceito de ordem de grandeza, pois um respondeu cinco copos e outro respondeu dez copos. O outro aluno do 7º ano também respondeu cinco, mas verbalizou que, “por se tratar de fração, sabia que deveria dividir”. Acabou dividindo apenas por três, chegando também ao valor de cinco, mostrando também que o conceito de ordem de grandeza se mostra deficiente, pois não percebeu a inconsistência da resposta.

Quanto ao significado de fração como razão, a tarefa a ser respondida foi: “Para fazer um refresco, a garrafa de concentrado de fruta traz a seguinte recomendação: misturar um copo do concentrado a cada dois copos de água. Então qual será a fração de concentrado numa jarra desse refresco?”. Todos responderam ½. Mas, quando confrontados verbalmente, relacionaram suas respostas ao significado parte-todo e aí responderam 1/3.

A imagem de fração como probabilidade foi verificado na tarefa pela pergunta: “Qual é a chance de saírem os números 3 ou 4 no lançamento de um dado?”. Todos os alunos deixaram essa tarefa por fazer. Mas, verbalmente, chegaram a expressar – todos eles – que era de duas em seis, ainda que no primeiro momento os alunos do 8º ano tivessem estimado valores de 40% e 20%, indicando o uso deste último conceito nesse tipo de problema. Ou seja, não lhes foi apresentada a possibilidade de representar esse significado pelo uso de frações ou não lhes foi apresentada essa imagem.

Considerações

A escolha desses significados como base exploratória para a análise sobre o ensino-aprendizagem de frações parte da percepção de que o conceito de medida precede todos eles. Saber quantas unidades de uma medida cabem em outra medida, seja ela discreta ou contínua, entendemos ser a origem desses significados. Observamos esse conceito no significado de parte-todo quando pensamos, por exemplo, quantos ¼ da unidade cabem na unidade; no operador multiplicativo quando pensamos a que parte da grandeza estamos nos referindo em comparação com ela mesma; no de quociente/número quando interpretamos a divisão em partes iguais como o número de partes que uma coisa cabe na outra; no de razão quando estamos comparando as partes (e o que é medir senão um ato de comparar?); e no de probabilidade quando somos levados a pensar na ordem de grandeza, que também é um tipo de comparação.

Para fazermos nossa análise também levamos em conta duas variáveis: a característica das quantidades (poderíamos usar quantidades contínuas ou discretas) e a forma de apresentação do problema (sem representações icônicas) para observar como os alunos pesquisados resolveriam as tarefas, mas percebemos que a presença do ícone (imagens ou coisas concretas) seria um facilitador para a compreensão.

Percebemos em nossa pesquisa que o significado parte-todo, que é o mais explorado, mesmo que os outros significados estivessem presentes nos livros usados nesta unidade escolar, ele conseguiu ser atingido ainda que houvesse alguma confusão na representação. Todavia, a imagem conceitual de fração como número numa reta numérica, além de pouco explorada e entendida pelos alunos, foi timidamente construída nos livros didáticos; talvez por isso os professores deem essa mesma atenção a esse significado.

Percebemos que os outros significados de fração ainda estão em construção, mesmo nos últimos anos do Ensino Fundamental. Alguns deles também dependem de analogia, experiência ou qualquer abordagem que envolva outros conceitos, por exemplo, de ordem de grandeza, pois notamos baixo entendimento/compreensão e, quem sabe, uma lacuna no ensino-aprendizagem.

Finalmente, entendemos que todo o procedimento operatório e de representações usando frações, quando não é adequadamente conceituado, construído e compreendido, acaba se transformando apenas em regras desconexas, sem sentido, e as consequências acompanham o estudante durante toda a vida escolar, acadêmica e, por que não, cotidiana. Nesse sentido, o que nos pareceu claro é que privilegiar alguns significados (algumas imagens conceituais) não necessariamente garante a construção de outros.

Neste trabalho levantamos a bandeira do ensino-aprendizagem de frações na busca, em última instância, de somar a outros que enxergam a docência como uma atividade profissional que tem suas especificidades, que precisam ser reconhecidas e estudadas tanto na formação inicial como na continuada ou para a confecção e utilização de livros didáticos.

Referências

ANDRINI, A.; VASCONCELLOS, M. J. Praticando Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 2014.

BALL, D. L. The subject matter preparation of prospective mathematics teachers: challenging the myths. National Center for Research on Teacher Education, College of Education, Michigan State University, 1988.

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998.

CAVALCANTI, Érica; GUIMARÃES, Gilda. Diferentes significados de fração: análise dos livros didáticos das séries iniciais. Nutes, 2007. Disponível em: http://www.nutes.ufrj.br/abrapec/viiienpec/resumos/R0212-2.pdf. Acesso em 20 jun. 2015.

MAGINA, S.; CAMPOS, T.; NUNES, T., GITIRANA, V. Repensando adição e subtração: contribuições da Teoria dos Campos Conceituais. São Paulo: Proem, 2001.
SHULMAN, L. Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational Researcher, v. 15, p. 4-14, 1986.

SCHUBRING, G. A Matemática elementar de um ponto de vista superior: Felix Klein e sua atualidade. In: ROQUE, T.; GIRALDO, V. (Eds.). O saber do professor de Matemática: ultrapassando a dicotomia entre didática e conteúdo. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2014. p. 39-54.

TALL, David; VINNER, Shlomo. Concept image and concept definition in Mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 1981.

VASCONCELOS, Cleiton Batista; BELFORT, Elizabeth. Diferentes significados de um mesmo conceito: o caso das frações. Discutindo práticas em Matemática, Boletim 13, p. 38-48, ago. 2006.

Publicado em 19 de junho de 2018